Đặt \(d=\left(m,n\right)\)

Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)

Lúc đó

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên

Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)

\(VT=\frac{4}{2.2\sqrt{a+b}}+\frac{4}{2.2\sqrt{b+c}}+\frac{4}{2.2\sqrt{c+a}}\)

\(VT\ge\frac{4}{a+b+4}+\frac{4}{b+c+4}+\frac{4}{c+a+4}\)

\(VT\ge\frac{36}{a+b+4+b+c+4+c+a+4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

\(\sqrt{3}>\frac{m}{n}\Rightarrow3>\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow3n^2>m^2\Rightarrow3n^2\ge m^2+1\)

với 3n²=m²+1=>m²+1 chia hết cho 3

=>m² chia 3 dư 2(vô lí)

\(\Rightarrow3n^2\ge m^2+2\)

lại có:\(\left(m+\frac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\frac{1}{4m^2}< m^2+2\)

\(\Rightarrow\left(m+\frac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Rightarrow m+\frac{1}{2m}< \sqrt{3}n\)

\(\Rightarrow\frac{m}{n}+\frac{1}{2mn}< \sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)

\(\Sigma\frac{b+1}{8-\sqrt{a}}\le\Sigma\frac{2\left(b+1\right)}{15-a}=\Sigma\frac{2\left(a+2b+c\right)}{4a+5b+5c}\)(AM-gm)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}x=4a+5b+5c\\y=4b+5a+5c\\z=4c+5a+5b\end{matrix}\right.\)suy ra...

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\geq b\geq c\). Khi đó, hiển nhiên \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\geq \frac{1}{1-\sqrt{b}}\geq\frac{1}{1-\sqrt{c}}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai bộ số trên:

\(3\text{VT}\leq (a+1+b+1+c+1)\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )=6\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )(1)\)

Giờ ta chỉ cần CM \(A= \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}\)

Dùng hệ số bất định thôi, ta sẽ CM \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\leq \frac{1}{7}+\frac{1}{98}(a-1)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(6-\sqrt{a})\geq 0\). BĐT này luôn đúng với mọi \(0< a<3\)

Tương tự với các phân thức còn lại \(\Rightarrow \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}+\frac{a+b+c-3}{98}=\frac{3}{7}(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}\). Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Mình đã giải tại đây https://hoc24.vn/hoi-dap/question/169464.html

Số dương thì sao \(a+b+c=0\) được? Chắc là \(a+b+c=1\) mới đúng

Khi đó:

\(VT=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}=\frac{2a}{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{2b}{2\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{2c}{2\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)

\(VT\ge\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" không xảy ra nên:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)